华人数学家张益唐 Peter Bohler 图
2013年5月，张益唐在纯粹数学领域知名刊物《数学年刊》上发表《素数间的有界距离》，证明了存在无数多个素数对（p, q），其中每一对素数之差，即p和q的距离，不超过七千万。从此，来自新罕布什尔大学的一位默默无闻的大学讲师（现为教授），进入了人们的视野。
纯粹数学（基础数学）是一门研究数学本身，不以实际应用为目的的学问。相较应用数学而言，纯粹数学严格、抽象，更接近艺术和哲学。自18世纪以来，纯粹数学成为数学研究的一个特定领域。而2010年，张益唐选择了这一特定研究领域的典型代表——数论。
“我的成果没什么实际用处。”张益唐如此评价自己的研究。
张益唐研究的问题通常被称为“素数间隔”（bound gaps），其中涉及到“素数”这个概念——也被称为质数，指那些只能被1和其自身整除的数，比如2、3、5、7、11、19等。在这些素数中，指差为2的素数对（p和p+2同为素数）又称为孪生素数，比如（3，5）、（5，7）、（11，13）、（17，19）等。随着数字变大，人们可以观察到的孪生素数越来越少。
那么，会不会有一天再也找不到新的孪生素数呢？这就是几百年前的“孪生素数猜想”：对所有自然数k（k=1），存在无穷多个素数对（p, p + 2k）。这个猜想和负有盛名的黎曼猜想、哥德巴赫猜想一道成为著名的希尔伯特第八问题中的一部分。
但很显然，猜想需要有人去证明。加州圣荷西大学教授戈德斯通（Daniel Goldston）、匈牙利科学院阿尔弗雷德·莱利数学研究所（Alfréd Rényi）成员平兹（János Pintz）等学者从2005年开始共同研究这一课题。Daniel Goldston曾表示自己不会在有生之年得到答案，“这是之前以为可能永远无法解决的问题之一。”
“从来没有数学家应该让自己忘记，数学比其他任何艺术或科学更应该是年轻人的游戏。”著名数学家哈代（G. H. Hardy）曾写道，“我从不知道有哪个数学上的重大突破是由一个超过五十岁的人提出来的。”
而张益唐呢，这个只于2001年低调地发表过一篇论文的男人，在2010投入研究“素数间隔”时，已经55岁了。
经历：我的生活并不总是那么容易
《纽约客》撰稿人亚历克问过张益唐：“你觉得你是个非常聪明的人吗？”他回答说：“可能吧，有点儿。”
1955年，张益唐出生于上海，母亲是政府机关的文员，父亲是电气工程专业的大学教授。当他还是个小孩的时候，他就对数学充满了求知欲。后来，父母因工作原因搬到了北京，他仍留在上海和祖母生活在一起。“文革”期间，学校被迫关闭，他便没日没夜地阅读各类数学书籍，那些都是他用不到一元钱从书店租的。他着迷于《十万个为什么》系列丛书，因为里面解答了物理、化学、数学方面的相关难题，有疑惑的时候，他就尝试自己解决问题。“因为那个时候压根没人可以帮我”。
13岁时，张益唐搬到了北京，只不过15岁之前一直和母亲待在乡下，父亲在另一个农场。那个时候，如果张益唐被人看见在农场看书，就会被呵斥停下。“因为人们觉得数学对阶级斗争来说一点用都没有”。
几年后，他回到了城里，以制锁为生。同时，他为了能考进北京大学而自学，“我花了几个月的时间学习高中物理、化学的所有知识，偶尔还学学历史，有点仓促。”
不过，他还是在23岁的时候如愿被北大录取。作为北大数学系“文革”后恢复高考的第一批学生，张益唐是北大1978级公认的数学尖子。“第一年，我们学习微积分和线性代数，这很让我激动。”张益唐在大四的时候没有选择原专业代数几何，而是将数论作为之后的主攻方向。他说：“我是真的不喜欢代数几何，那个时候的中国还流行着一种说法是，个人必须遵从集体。我的教授认为代数几何比数论更加重要所以强迫我学习，他还是校长，所以他有权利逼我。”
1984年的夏天，代数专家莫宗坚（T. T. Moh）受邀来到北大。张益唐被教授们推荐给莫宗坚，在毕业期间做一些研究工作。莫宗坚的其中一个研究方向是雅克比猜想，正是张益唐非常渴望去做的。1985年，张益唐跟着莫宗坚来到了美国名校普渡大学读博士。然而，这六七年里他的研究结果乏善可陈。
雅克比猜想提出于1939年，是代数几何学中至2013年还未解的难题，其中包含的知识量已经超过了一个毕业生所具备的，只有一些精通代数几何的专家才可能拥有。因为这个猜想的棘手程度，一位数学家曾把它形容为“一个灾难性的问题”。张益唐要做的就是尝试证明雅克比猜想中隐含的东西，而不是直接证明猜想本身。到1991年，张益唐取得了代数几何博士学位，再也无法掩盖和导师的分歧。他告诉莫宗坚自己要重新回归到数论上。莫宗坚后来也坦言：“我对此不是很开心，不过还是支持学生有权利改变专业方向的权利，所以我笑着与他说了再见，22年过去了，我们没有过任何联系。”
毕业后的张益唐，既没有发表论文，也没得到导师的推荐信，甚至连一份基本的学术类工作都不好找。莫宗坚之后回忆起张益唐的毕业时光，写道：“当我看着他的眼睛时,我发现了一个令人不安的灵魂。”大部分中国同学在毕业后都转投电脑科技或是经济金融。张益唐原来在北大的同学Perry Tang就是其中的一个，他在英特尔公司找了份工作。1999年，他告诉张益唐：“我觉得你不找个工作实在是有些不公平。”而张益唐呢？一毕业，就居无定所。
他有时与朋友住在肯塔基州，有时住在纽约——那里也有朋友和临时工。在肯塔基州，他加入了一个探讨中国民主的兴趣小组，口号是“自由、民主、法治和多元化。”小组成员之一是一位在实验室工作的化学家，经营一家快餐店Subway。“汤姆（张益唐自称汤姆，朋友们也如此叫他）是个天才。”另一个小组成员说，“他被邀请去帮忙。”张益唐答应了。当店里忙的时候，他就去帮忙收银。“即使我知道如何作一份三明治，我也不想做。”张益唐说，不工作时，他也会去肯塔基大学的图书馆看和代数几何、数论有关的学术杂志。
“那些年，我其实没能继续我的数学梦想。”这是他自己的总结。
“你一定很不开心。”
他耸了耸肩：“我的生活并不总是那么容易。”
1999年，张益唐在一个朋友的帮助下回到了学校，在美国新罕布什尔大学做助教、讲师。新罕布什尔大学是成立于1866年的一所综合性公立大学。2010年，当他决定研究“素数间隔”时，他根本还没有找到研究的切入口。“我想，切入的门在哪里？”张益唐说，“历史上许多数学家都认为研究这个问题应该有一道门，一个切入点，但他们没有找到它。我试过几次，无果。然后，我开始有点担心是不是没有这道门的。”
“你沮丧吗？”
“我累了。”他说，“但很多时候我只是感觉平和。我喜欢散步和思考，这是我放松的方式。我的妻子看到我这样会问一句‘你在做什么？’我回答她‘我在工作，我在思考。’她不能理解。”但是，张益唐的问题是如此复杂，“我没有办法向她解释。”
性格：他不像一个正常人
张益唐沉默寡言，对人也比较拘谨。亚历克第一次遇到他的那天，两人谈了大约半个小时的童年后，张益唐说：“我有一个问题。你还要问多少问题？”
对于别人的提问，张益唐的回答往往是这三种：“也许吧”、“不”和“也许并非如此”。或因缺乏自信，张益唐经常说“我们”而不是“我”，比如“我们不认为这种方法是有效的。”有时，他也会在开口前“呃呃”半天，不知如何表达。
在研究结果被发表后，张益唐被邀请去普林斯顿高等研究院。据高等研究所成员、2014年沃尔夫数学奖得主彼得·萨奈克（Peter Sarnak）回忆，有一天，他遇到了张益唐。彼得主动说“你好”，张益唐回了句“你好”，然后表示这是自己十天来和别人说的第一个词。在彼得看来，即使数学家都相对内向，这也是说不过去的。从此，他每周都邀请张益唐和他吃一次午饭。
芝加哥大学数学教授Matthew Emerton也在普林斯顿遇到了张益唐。“他不像一个正常人。”马修说，“他不合群。他获奖了，周围的人都在谈论他。但他似乎特别低调。所谓获奖，似乎对他没有一点影响。”
纽约大学理工学院教授杨鼎（Deane Yang）出席了张益唐2013年在哥伦比亚大学的三次讲学。“你以为这样一个人会炫耀他有多么聪明。” 杨鼎说，“他给出了精彩的讲座，但他不在炫耀。”在论文结果发表后，张益唐的第一场有关结论的讲座办在哈佛大学。哈佛大学讲座教授、美国科学院院士丘成桐（Shing-Tung Yau）听了张益唐的报告，邀请他今后再做演讲。另一位哈佛教授Barry Mazur则表示，“为张益唐的坚韧、勇敢和独立而感动”。
在新罕布什尔大学，张益唐的办公室在数学和计算机科学大楼三层。办公室里有一张桌子，一台电脑，两把椅子，一个白板和一些书架。透过一扇窗，能看到一棵橡树。书架上的书，有标题如“介绍希尔伯特空间（Hilbert Space）”和“费玛大定理（Fermat’s Last Theorem）”。此外，有关拿破仑的历史书也令他着迷。至于莎士比亚戏剧选，他读的是中文版，因为它比伊丽莎白时代的英语好读多了。
马萨诸塞州波士顿大学数学系主任埃里克·格林贝格（Eric Grinberg）是张益唐从2003年到2010年在新罕布什尔大学的同事。“汤姆非常温和、谦逊，从不要求什么。”格林贝格形容，“我们知道他在研究重要的问题。他用纸和笔，但其实唯一的副本在他的电脑里。大约每隔一个月我就去问他‘你介意我有备份吗？’他当然不介意，因为这些都记在他脑子里了。”
可以说，张益唐的记忆力出奇得好。他的一个名叫齐雅格（Jacob Chi）的朋友说：“有时我带他去一个派对。他不说话，就打量着每一个人。我说：‘你必须跟人交谈。’他回：‘我更乐意听你们谈话。’结果是，六个月后，他能说出谁坐在哪里、谁开始的一段对话，并复述对话内容。”
“我认为社交是在浪费时间。”张益唐说，“不过，也许是我有点害羞。”
几年前，张益唐把他的车卖了，因为不怎么用它。他租了一套距离学校大约四英里的公寓，和学生们一样做校巴穿梭于公寓和办公室之间。他说坐在公共汽车上，他也能思考。一周七天，他总是于早上八九点出现在办公室，直到傍晚六七点才离开。有时，他早上在思考一道昨晚睡前思考的数学问题中醒来。他办公室外有一个长廊，他喜欢来回走着。不然，他就要跑到外面去散步。
张益唐和妻子已经结婚12年了。太太的名字是Yaling，但她自称海伦。海伦曾是纽约长岛一家中国餐馆的服务生。有一天，他们的一位共同好友拉着张益唐去了那家餐馆并指了指海伦问，“你觉得这姑娘怎么样？”之后几个月，张益唐每个周末都去纽约。接下来的夏天，海伦也来到新罕布什尔大学。海伦不喜欢新罕布什尔州的冬天，于是搬到了加州并找到一份在美容院的工作。她和张益唐在加州圣荷西（San Jose）有一套房子，张益唐的寒暑假就在那里度过。
发现：短短五到十分钟内，那道门打开了
投身“素数间隔”之后的两年，张益唐一直没有找到那道门。“我们看不到任何希望。”他说。然而，2012年7月3日下午，“短短五到十分钟内，那道门打开了。”
张益唐当时正在美国科罗拉多州的普韦布洛拜访朋友齐雅格。几个月前，因为儿子即将要上高中，齐雅格就提醒张益唐辅导他家儿子微积分。为此，张益唐足足在齐雅格家里待了一个月。每天早上，他都要花上一个小时在齐雅格儿子朱利尔斯身上。朱利尔斯说：“他教我的时候并没有按照特定的课程来，全部都是根据记忆。有一次，他提到他的通讯录中一个数字都没有，因为他都记住了它们！”
张益唐教书之余都会小憩一番，他常常喜欢沿着住所的后院漫步，正如齐雅格说的那样：“我们住在山里，不时地会有小鹿跑出来，他便抽着烟瞅着鹿，而没有鹿的时候，他就那样静静地走着、思考着。”7月3日这天，他茫然地走了大约半个小时。
那晚，张益唐陪着齐雅格出席一场在普韦布洛举办的纪念美国独立日的音乐会预演。齐雅格后来回忆道：“音乐会结束后，他情不自禁地哼唱着《星条旗永不落》，整个晚上他说的都是对这首歌的夸奖，丝毫没有提白天的突破性进展。”
之后，张益唐完成了论文《素数间的有界距离》（Bounded Gaps Between Primes），然后他花了几个月的时间系统地一一检验论证过程的每一步，他形容这种过程是“无比无趣的”。2013年4月17日，他没有告诉任何人，默默地就将这篇论文提交给了学界最具声望的期刊《数学年刊》（Annals of Mathematics）。有数学家曾说过，这本期刊中收录的都是一些未经公开发表的但是解决了数学难题的文章，一些作者为了解决难题直至癫狂，他们常常声称别人的解题方法是错误的，或是称自己已经用一些物理学原理解出了著名的难题。
2013年，《数学年刊》共收到了915份论文，发表了其中的37份。投稿和发表的等待过程长达一年，普林斯顿大学教授也是这本期刊的编辑尼古拉斯·卡茨（Nicholas Katz）说：“每当收到一份投稿，为了得到它的价值，我们都会先很快地阅读一遍。然后就是一次漫长的深度阅读时间，往往会有个把月。如果遇到我无法评估价值的文章，我的职责就是找到能够评估它的人。我把张益唐的论文发过去后，很快收到了回信称‘如果文章中论证的是准确的那么实在是太好了，不过你一定要足够仔细，因为这个家伙曾经发过一篇文章，但是后来被证明是错误的’。”回信中说的文章就是张益唐之前在arxiv.org网站上发表的，这个网站专门为了放还未在期刊中发表的论文所建。张益唐这篇发表在2007年的文章中提到了另一个著名的数学问题——Landau-Siegel零点猜想。
卡茨把《素数间的有界距离》发给了许多专家判定，其中一个是解析数论大师亨里克·伊万尼克（Henryk Iwaniec）。“我用几分钟瞟了一眼，第一印象是文章中居然有那么多主张是错误的。当时我手头正好有另外的事情要做，就把它给搁置下来了，那个时候的他还默默无闻。后来我接到了朋友的电话，巧的是朋友也读了这篇文章。我们就在一起花了一个星期的时间研究文章，本来我们是打算做别的事儿的。”
伊万尼克的朋友约翰·弗里德兰德是多伦多大学的教授，他俩带着巨大的兴趣阅读了张益唐的这篇论文。“在这篇文章中，你不需要从头读到脚，因为你第一眼就能发现核心所在，这种写论文的方式自打2005年后就再也没人采用过了。文章中针对的问题其实是很难解答出来的，但是越来越往后读，你会发现论证准确的机会越来越大。也许两天后，我们还在寻找结果，但是更长时间之后，我们就能够环环相扣地检验了。这种过程虽然不好受，但是我们一直在证明文章的正确性。”
几个星期后，两人写信给卡茨，信中写道：“我们已经完成了对张益唐这篇论文的研究，文章得出的主要结果是首创的，作者在素数的分布上成功证明了一个里程碑式的定理。我们很高兴能够推荐这篇论文发表在《数学年刊》上。”
当张益唐听说这个好消息的时候，他打了一通电话给远在圣何塞的妻子。“我让她留心媒体报道，我说‘你会在那上面看到我的名字’，不过她却回复我‘你是不是喝醉了’。”
结论：他证明了存在无穷多对素数
“你必须想象这来源于虚无。”格林贝格说，“这就像认为宇宙是无限的，没有边际的，结果发现它有终结。”想象有一把可以运用到一组绿色和红色数字的尺子。张益唐选择了一把长达七千万（个数字）的尺子，因为如此大的数字更容易证明他的猜想。
从张益唐的研究结果来看，推演是成立的，他证明了存在无穷多对素数，其差小于7000万。尽管7000万是个很大的数字，这是第一次有人正式证明存在无穷多组间距小于定值的素数对。一位数学家说，推演出这个根据的是鸽巢原理。
发现有差距之后，张益唐对找到最小的数字来定义差距并不感兴趣。他认为这仅仅是个技术问题，一种体力劳动。但是在张益唐公布一周之后，全球的数学家开始争相寻找最小的数字。其中之一是加州大学洛杉矶分校的一名华裔教授陶哲轩( Terence Tao)。陶哲轩有一个合作项目，在这个项目中，数学家们努力去寻找最小的数字，而不是奋力争抢第一。
这个课题叫做Polymath8，开始于2013年3月，持续了一年时间。随着课题的推进，工作逐渐依赖于一名年轻的英国数学家詹姆斯·梅纳德（James Maynard），这名数学家将定值的最小值推算到246。“再往下就会有很多问题，”陶哲轩说，“需要越来越多的电脑程序，当然也有理论问题。用现有的方式，我们不能得出更好的结果了，因为有所谓的平等问题，没有人知道怎么解决这个问题。”
“数学家需要天赋吗？”
“专注。”张益唐说，“而且，你永远不能放弃自己的个性。”他继续说，“可能在你面前的事情很复杂，解决它很漫长，但是你应该善于利用直觉中最主要的部分。”
被问及如何找到了解决这个难题的关键点，张益唐说：“不少科学家发表了很多论文，有一篇论文是关于定值，有两篇论文是关于等差数列中的素数分布。我将两者比较起来看，加上我自己多年在图书馆阅读所产生的创新性思考。”
彼得·萨奈克（Peter Sarnak）则说：“他所做的看起来遥不可及，或许40年前这个问题看起来无法可解，但是2005年，数学家戈德斯通、平兹和伊尔迪里姆将它摆上桌面。每个人都在想，现在我们非常接近结果了，但是直到2011年没有一个人取得进展。数学家朋比利、弗里德兰德和伊万尼克也做了很多其他方面的重要研究，但是不能把他们的成果与此前的研究联系起来，他们的研究增加了一些附加条件。但是张益唐出现了。
“张益唐的成就很轰动，”伊万尼克说，“他的成果是杰作，谈起数论，机械的运用是很重要的。某种程度上，张益唐完全了解这些，尽管他独自一人工作。这才是他惊喜的原因。他惊叹于自己推动了论文中参数的发展。”
张益唐利用的是一种筛选法，通过复杂的形式找到了素数。发明这种筛选法的是公元前三世纪的希腊天文学家、数学家和地理学家埃拉托色尼，因此也被成为埃拉托色尼筛选法。张益唐说，用这个简单的筛选法找到1000以下的素数，写下所有的数字，然后删除2的倍数，因为这些数是偶数，不可能是素数。然后删除3的倍数，5的倍数，以此类推，一直到31的倍数。张益唐所用的筛选法不同于其他人。此前的筛选方法将间距遥远的数字排除了，用这种方法，加州圣荷西大学的戈德斯通（Goldston）、匈牙利数学家平兹（Pintz）及数学家伊尔迪里姆（Yıldırım）已经证明了存在无穷多组间距小于定值的素数对，但是他们没有确定这个定值是多少，张益唐的成果部分在于这种筛选方法的可选择性少。
未来：还有和孪生素数猜想一样重要的事做
张益唐是否还在研究新的东西？“可能还要解决两到三个问题。”他说，“孪生素数猜想很成功，但是我还有其他的事情要做。”
“和孪生素数猜想一样重要吗？”
“是的。”
据其他数学家透露，张益唐正在研究Landau-Siegel零点猜想。“如果他成功，将更让人激动。”彼得·萨奈克表示，“我们不知道他的研究进程如何，但是他已经证明了自己是个天才。这一点毫无疑问。他也证明了多年来可以致力于研究同一样东西。基于这一点，再一次让世人瞩目不是没有可能的。大家都很期待。”
“很多人尝试过那个问题。”伊万尼克说，“他是一个有独立思想的人，做事情不紧不慢。如果Landau-Siegel零点猜想需要再花上十年时间，他也会乐意。除非你解决一个已经被解决了的问题，或者从一开始解决方法就很明晰，否则的话，大多数情况下你都会卡壳。但是张益唐不在乎卡壳时间的长短。”
像张益唐这样喜欢挑战难题的数学家是不多见的。追求终身教职，需要一个学者频繁地发表论文，这通常意味着将研究缩窄到某个特定领域，对此，张益唐没有兴趣。他似乎不想和其他数学家竞争，也不因数年来只是一名普通老师而不满，要知道和他同辈的数学家都是教授了。
了解他的人中，没有人认为他适合做终身教授。“我认为他的做法很聪明。”对此，杨鼎表示，“如果你成为一名优秀的微积分老师，学校就会非常倚重你。你很廉价，也很可靠，学校没有理由解雇你。在这个职位上做了几年之后，你会驾轻就熟，有大量的时间去思考其他问题，只要你在生活水准上没什么大要求。当然有人尝试担任非终身教职，但是通常这些人都资质平平，个性古怪，生活糟糕，而且不喜欢解决问题，但张益唐不是。”
被问及哈代关于“数学家和年龄”的定论，“那话可能不适用于我。”张益唐说，“我仍然有直觉，我仍然很自信，我仍然有其他的愿景。”
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